Прямокутний трикутник - Що таке прямокутний трикутник?

Зміст

Що таке прямокутний трикутник
Завдання.
Рішення.
Завдання.
Рішення.
Завдання.
Рішення.
Висота прямокутного трикутника
Усі основні формули площі прямокутного трикутника

Що таке прямокутний трикутник

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то прямокутний трикутник має лише один прямий кут. Два інші кути прямокутного трикутника гострі. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 180 ° – 90 ° = 90 °.

Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони називаються катетами (рис. 82). Зазначимо наступну ознаку рівності прямокутних трикутників з гіпотенузи та катету:

Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 83)

Завдання (43). Доведіть, що у прямокутному трикутнику з кутом 30° катет, що протилежить цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи.

Рішення. Нехай ABC — прямокутний трикутник із прямим кутом С та кутом В, рівним 30° (рис. 84). Побудуємо трикутник DBC, що дорівнює трикутнику ABC, як показано на малюнку 84.

У трикутника ABD усі кути дорівнюють (60°), тому він рівносторонній. Оскільки AC = одна друга

AD, а AD = AB,
то АС = одна друга

АВ. Що й потрібно було довести.

Нагадаємо, що прямокутним трикутником називають треуг-к, один із кутів якого дорівнює 90°.

Покажемо кілька малюнків, на яких зображені прямокутні трикутники:

Той кут, який дорівнює 90 ° (його ще називають прямим), відзначається квадратиком.

Чи може трикутний прямокутник мати два чи три прямі кути? Звичайно, ні, тому що сума кутів трикутника повинна дорівнювати 180°. Звідси випливає очевидний факт – ті 2 кути прямокутного трикутника, які не рівні 90 °, повинні бути гострими. Крім того, можна стверджувати, що їх сума рівно 90°.

Завдання.

У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 40°. Що таке другий гострий кут?

Рішення.

Позначимо невідомий кут як ∠1. Сума гострих кутів повинна дорівнювати 90°, тому можна записати рівняння: складіть рівняння самостійно.

Цю відповідь можна отримати дещо іншим шляхом. Сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°. Одна з них має кут 40°, а друга — 90°. Тобто можна скласти таке рівняння: складіть рівняння самостійно.

Перший спосіб відрізняється лише тим, що вимагає більш простих розрахунків.

Відповідь: 50°

Завдання.

Рішення.

Знайдіть усі кути трикутника, який одночасно є і прямокутним, і рівнобедреним.

У будь-якого рівнобедреного трикутника є два однакових кута при підставі.

Зрозуміло, що у прямокутному треуг-ке може бути двох прямих кутів, тому рівні один одному гострі кути. Позначимо величину одного з них як х .

Обидва кути рівні , тому можна записати рівняння: запишіть рівняння самостійно.

Виходить, що в рівнобедреному прямокутному трикутнику два кути дорівнюють 45°, а один – 90°.

Сторони прямокутного трикутника мають особливі назви. Та сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою прямокутного трикутника, а інші дві сторони називають катетами.

По малюнку видно, що гіпотенуза довша за катети. І це правило виконується всім прямокутних треуг-ков. Насправді, у будь-якому треуг-ке проти найбільшого кута лежить найбільша сторона. Катети лежать проти гострих кутів, а гіпотенуза проти прямого кута, і тому вона довша.

Завдання.

Рішення.

Доведіть, що у триуг-ке з однієї вершини провести і медіану, і висоту, то медіана буде менше висоти.

Нагадаємо, що висота – це відрізок, опущений на бік під прямим кутом, а медіана – відрізок, проведений до середини протилежної сторони. У принципі, ці два відрізки можуть збігтися один з одним, і тоді їхні довжини дорівнюють. Розглянемо випадок, коли медіана та висота не збігаються:

Позначимо літерою М середину АС, тоді ВМ – медіана. Висоту позначимо як ВН. В результаті у нас утворюється ∆МВН, причому кут на перетині ВН та АC( ∠BHM ) дорівнює 90°. У цьому трикутнику медіана виявляється гіпотенузою, а висота – катетом прямокутного трикутника. Так як гіпотенуза завжди довша катета, то і МВ довше ВН.

Висота прямокутного трикутника

Згадаймо визначення. Висота трикутника це перпендикуляр, опущений з його вершини на протилежну сторону.

У прямокутному трикутнику катети є висотами один до одного. Головний інтерес становить висота, проведена до гіпотенузи.

Один із типів екзаменаційних завдань у банку завдань ФІПД — такі, де у прямокутному трикутнику висота проведена з вершини прямого кута. Подивимося, що виходить:

$\displaystyle = \frac{a}{c}=\frac{h}{b}=\frac{BH}{a};$

sin A

$\displaystyle = \frac{b}{c}=\frac{h}{a}=\frac{AH}{b};$

cos A

$\displaystyle S_{ABC}= \frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}.$

Висота проведена до гіпотенузи AB. Вона ділить трикутник

$ABC$

на два прямокутні трикутники —

$AC \mkern -3mu H$

$C \mkern -3mu H \mkern -3mu B$

Дивимося уважно на малюнок і знаходимо на ньому рівні кути . Це і є ключем до завдань з геометрії, у яких висота опущена на гіпотенузу.

Ми пам’ятаємо, що сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює

$90^{\circ}$

. Значить,

$\angle AC \mkern -3mu H=90^{\circ}-\angle C \mkern -3mu AH$

тобто кут

$AC \mkern -3mu H$

дорівнює куту

$ABC$

Аналогічно, кут

$C \mkern -3mu AB$

дорівнює куту

$H \mkern -3mu C \mkern -3mu B$

Інакше кажучи, кожен із трьох кутів трикутника

$ABC$

дорівнює одному з кутів трикутника

$AC \mkern -3mu H$

(і трикутника

$BC \mkern -3mu H$

). Трикутники

$ABC, AC \mkern -3mu H$

$BC \mkern -3mu H$

називаються такими. Давайте намалюємо їх поряд один з одним.

Вони відрізняються лише розмірами. Сторони таких трикутників пропорційні . Що це означає?

Візьмемо трикутники

та

Сторони трикутника

довші, ніж сторони трикутника

$k$

в раз:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AC}{\displaystyle A \mkern -3mu H} =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle C \mkern - 3mu H} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle AC}.$

Ми довели властивість висоти прямокутного трикутника. Його можна сформулювати як теорему.

Теорема 1. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута на гіпотенузу, ділить трикутника на три подібні трикутники:

При вирішенні завдань нам знадобиться рівність кутів трикутників

$ABC, AC \mkern -3mu H$

$BC \mkern -3mu H$

, а також пропорційність їх сторін. Зверніть також увагу, що площу трикутника

$ABC$

можна записати двома різними способами: як половину добутку катетів і як половину добутку гіпотенузи на проведену до неї висоту. У геометрії це називається «метод площ» і часто застосовується у вирішенні завдань.

Завдання 1.

У трикутнику

кут С

дорівнює

$90^{\circ},$

CH — висота, BC = 3,

cos A =

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{35}}{\displaystyle 6}.$

Знайдіть AH.

Рішення:

Розглянемо трикутник ABC. У ньому відомі косинус кута A та протилежний катет BC. Знаючи синус кута A, можна знайти гіпотенузу AB. Тож давайте знайдемо sin A:

sin

${}^2A$

+cos

${}^2A$

=1.

Ця формула – основне тригонометричне тотожність. Звичайно, ви його знаєте:

${}^2 A + \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 35}{\displaystyle 36} = 1;$

sin

${}^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 36};$

sin

$= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$

sin A (оскільки значення синуса гострого кута позитивне).

Тоді:

$AB=BC: \sin A = 3: \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=3 \cdot 6=18.$ $BC \mkern -3mu H$ $\angle H = 90^{\circ}$ $\angle H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = \angle A,$

Розглянемо прямокутний трикутник . Оскільки

$\sin H \mkern -3mu C \mkern -3mu B = H \mkern -3mu B : BC.$ $H \mkern -3mu B=BC \cdot \sin HC \mkern -3mu B = 3 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=0,5.$

Звідси

$A mkern -3mu H = A mkern -3mu B - H mkern -3mu B = 18-0,5 = 17,5.$ $17,5$

Відповідь:

Завдання 2.

${}^{\circ},$ $= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$

У трикутнику ABC кут C дорівнює 90 AB = 13, tg A . До гіпотенузи проведена висота СН. Знайдіть AH.

Рішення:

Це трохи складніше завдання. Адже вам невідомі катети a та b.

$a^2 + b^2 = 13^2.$

Запишемо теорему Піфагора: (1)

Нам відомо також, що:

$= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}.$

tg A (2)

Вирішуючи рівняння (1) і (2), знайдемо:

$a = \ sqrt {6,5}: b = 5 \ sqrt {6,5}.$

Запишемо площу трикутника AВС двома способами:

$S = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ab = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} ch$ $CH = 2,5$

і знайдемо довжину .

Знайти висоту, проведену з вершини прямого кута, можна було й іншим способом. Ми обрали найкоротший шлях — склали і вирішили систему рівнянь, як у алгебрі.

Теорема 2. У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.

Доведення:

З прямокутного трикутника ABC з прямим кутом C та гіпотенузою AB:

$\displaystyle (\angle BAC)=\frac{a}{c}.$

sin

З прямокутного трикутника AНС із прямим кутом Н і гіпотенузою AС:

$\displaystyle (\angle BAC)=\frac{h}{b}.$

sin

Ми різними способами вирахували синус одного й того самого кута. Прирівняємо отримані вирази:

$\displaystyle \frac{h}{b}=\frac{a}{c}.$

Знайдемо висоту:

$\displaystyle h= \frac{ab}{c}.$

Що й потрібно було довести.

Завдання 3. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 і 20.
Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Рішення:

Скористаємося теоремою 2 про висоту прямокутного трикутника:

Катети ВС і АС нам відомі: BC = 15, AC = 20. Знайдемо гіпотенузу AB за допомогою теореми Піфагора:

${AB}^2={BC}^2+{AC}^2={15}^2+{20}^2={25}^2,\ \ \ \ AB=25.\$

Знайдемо висоту, проведену з вершини прямого кута:

Відповідь: 12.

Теорема 3. У прямокутному трикутнику квадрат висоти, проведеної з вершини прямого кута, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.

Нині ми доведемо цю корисну формулу.

Згадаймо, що таке проекція крапки на пряму. Наприклад, з точки С опускаємо СН – перпендикуляр до прямої АВ. Точка Н буде проекцією точки С. Тоді AН – проекція катета AВ, а BН – проекція катета BС.

$BH = c_a, \ AH = c_b.$

Позначимо:

Доказ проведемо двома способами.

Перший спосіб доказу:

З прямокутного трикутника BНС з прямим кутом Н і гіпотенузою BС:

$\displaystyle (\angle CBH)=\frac{h}{c_a}.$

З прямокутного трикутника AНС із прямим кутом Н і гіпотенузою AС:

$\displaystyle (\angle CAH) = \frac{c_b}{h}.$

ctg

Зауважимо, що кут CBН – це кут CBA, а кут CAН – це кут BAC. Тоді:

$(angle ABC) = ctg (angle BAC);$

$( \ angle CBH) = ctg ( \ angle CAH);$

$\displaystyle \frac{h}{c_a}=\frac{c_b}{h}.$

Ми скористалися тим, що тангенс та котангенс двох різних гострих кутів прямокутного трикутника дорівнюють один одному. Це випливає з визначення тангенсу та котангенсу.

Перетворимо вираз, що вийшов:

$\displaystyle h=\frac{c_a \cdot c_b}{h} \Rightarrow h^2 = c_a c_b .$

Що й потрібно було довести.

Другий спосіб доказу:

Скористаємося подобою трикутників, про які йдеться у теоремі 1.

Розглянемо пару прямокутних трикутників ANC і BNC. Як було показано вище, ці трикутники подібні до двох кутів, тому

$\displaystyle \frac{h}{c_a}=\frac{c_b}{h}.$

Ми отримали таке саме співвідношення, як і в першому способі доказу.

Далі аналогічно отримаємо, що

$h^2 = c_a c_b.$

Що й потрібно було довести.

Завдання 4. На гіпотенузу AB прямокутного трикутника ABC опущена висота CH, AH = 4, BH = 16. Знайдіть довжину CH.

Рішення:

Скористаємося теоремою 3 про висоту прямокутного трикутника:

Підставимо ці завдання.

${CH}^2=4\cdot 16=64,$

CH = 8.

Відповідь: 8.

Розберемо розв’язання інших завдань ОГЕ та ЄДІ на тему «Властивості висоти у прямокутному трикутнику».

Завдання 5. Катети прямокутного трикутника відносяться як 3:4, а гіпотенуза дорівнює 50. Знайти висоту, проведену з вершини прямого кута та відрізки, на які гіпотенуза поділяється заввишки.

Рішення:

Розглянемо прямокутний трикутник ABС із гіпотенузою AB. Проведемо висоту CD = h.

З огляду на відношення катетів, позначимо їх довжини як: BC = 3x, AC = 4x.

Тоді за теоремою Піфагора отримаємо:

$AB=\sqrt{9x^2 +16 x^2} = \sqrt{25 x^2}=5x.$

За умовою гіпотенуза AB=50. Отже, х=10, BC=30, AC=40.

Далі можна діяти у різний спосіб. Наприклад, так.

$\displaystyle CD=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{30\cdot 40}{50}=24.$ $AD = AC \ cdot {cos A}, \; BD=BC\cdot {cos B},$

де за визначенням косинуса:

$\displaystyle =\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},\;$ $\displaystyle =\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}.$

cos A cos B

$\displaystyle AD=AC\cdot \frac{4}{5}=32,\; BD=BC\cdot \frac{3}{5}=18.$ $CD=24, \; AD=32,\; BD = 18.$

Відповідь:

Завдання 6. У прямокутному трикутнику ABC висота CD поділяє гіпотенузу на відрізки AD = 3 см та BD = 2 см. Знайти катети трикутника.

Рішення:

Знайдемо квадрат довжини висоти за допомогою теореми 3:

${CD}^2=ADcdot BD=3cdot 2=6.$

З прямокутного трикутника ADC з теореми Піфагора знайдемо

${AC}^2={AD}^2+{CD}^2=9+6=15,\; AC = \ sqrt {15}$

див.

З прямокутного трикутника BDC з теореми Піфагора знайдемо

${BC}^2={BD}^2+{CD}^2=4+6=10,\; BC= \sqrt{10}$

див.

$\sqrt{15}$ $\sqrt{10}$

Відповідь: див і див.

Завдання 7. Точка D є основою висоти, проведеної з вершини прямого кута трикутника ABC до гіпотенузи AB. Знайдіть AC, якщо AD = 8, AB = 32.

Вказівка:

Знайдіть відрізок BD = AB – AD, після чого завдання зводиться до попередньої.

Довжину висоти прямокутного трикутника можна знайти, якщо відомі гіпотенуза і один з гострих кутів трикутника.

$\alpha$ $\alpha$ $\beta$ $\beta.$

h = c sin cos = c sin cos

Доведемо цю формулу.

$CD = AC cos \ alpha.$

Розглянемо прямокутний трикутник ACD:

$AC = AB sin \ alpha.$

У той же час із трикутника AВС:

$\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha.$

Таким чином, h = CD = AC cos ⁡ = AB sin cos = c sin cos ⁡

$\beta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$ $\beta.$

Аналогічно з трикутника BCD отримаємо: h = CD = BC cos = AB sin ? cos = c sin cos ?

Задача 8. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 10, а один із гострих кутів 15 градусів. Знайти висоту з вершини прямого кута.

Рішення:

Скористаємося доведеною вище формулою:

$\alpha$ $\alpha$ ${15}^\circ$ ${15}^\circ$ ${30}^\circ$

h = c sin cos = 10 sin cos = 5 sin = 2,5.

Відповідь: 2,5.

Завдання 9. Висота прямокутного трикутника ділить його гіпотенузу на відрізки 6 см і 4 см. Знайдіть площу цього трикутника.

Рішення:

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює сумі даних відрізків:

$c=6+4=10$

див.

$h = sqrt {6 \ cdot 4} = 2 \ sqrt {6}$

Знайдемо висоту, проведену з вершини прямого кута до гіпотенузи: див.

Площа трикутника:

$\displaystyle S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2\sqrt{6}=10\sqrt{6}$ ${}^2.$

см

$10 \ sqrt {6}$ ${}^2.$

Відповідь:

см.

Усі основні формули площі прямокутного трикутника

Прямокутний трикутник , так само як і будь-який інший трикутник, має три сторони та три кути. Різниця тільки в тому, що один кут прямий, тобто 90 градусів і два інші, гострі кути в сумі складають, теж 90 градусів.
Дві сторони, які формують прямий кут, називають катетами , а третя сторона навпроти прямого кута, називається – гіпотенуза

1. Якщо відомі лише катети

a , b – катети трикутника

Формула площі трикутника через катети ( S ):

2. Якщо відомі гострий кут і гіпотенуза чи катет

c – гіпотенуза

a , b – катети

α , β – гострі кути

Формули площі прямокутного трикутника через гіпотенузу та кут ( S ):

Формули площі прямокутного трикутника через катет та кут ( S ):

Як відомо, сума гострих кутів у прямокутному трикутнику дорівнює 90 градусів, а якщо

то справедливі такі тотожності:

3. Якщо відомі радіус вписаного кола та гіпотенуза

c – гіпотенуза

c ₁ c ₂ – відрізки отримані розподілом гіпотенузи, точкою торканнякола

r – радіус вписаного кола

О – центр вписаного кола

Формули площі прямокутного трикутника через радіус вписаного кола та гіпотенузу ( S ):

Дякуємо за те, що користуйтесь нашими публікаціями. Інформація на сторінці «Висота у прямокутному трикутнику» підготовлена нашими авторами спеціально, щоб допомогти вам у освоєнні предмета та підготовці до ЗНО. Щоб успішно здати необхідні екзамени та вступити до ВУЗу або коледжу, потрібно використовувати всі інструменти: навчання, контрольні, олімпіади, онлайн-лекції, відеоуроки, збірники завдань. Також ви можете скористатися іншими матеріалами із розділів нашого сайту.